Sugar & Salt Corner
No. 47
2013年2月20日
佐藤　敏雄

頭の体操


　「少しは頭を働かせないとボケてしまう」と思っているこの頃ですが、古い雑誌などの整理をしていたら、面白い図形の記事が出てきました。
　例えば、「1から10まで足したらいくつになる？」　55ですよね？！
　簡単そうだと思って見ていたのですが、だんだん説明の意味が理解できなくなり、ハマってしまいました。その中から最初のいくつかをご紹介しましょう。

（１）三角数
　図1をご覧ください。4色の丸い玉が規則的に 並んで、正三角形を作っています。頂点の赤い玉 1個から始まり、下方向に黄色の2個を足すと合計 は3、それに緑の3個を加えると6、更に青の4個 を加えると合計は10と、以下無限に続きます。
　順に並べると

　 1  3  6  10  15  21  28  36  45  55　・・・・

となり、10まで行けば合計は55となります。このような数は三角数と呼ばれるもので、図1は4番目の三角数を示します。
ここで冒頭の質問に戻り、1から10まで足したら？　一々数えなくても 「1からnまでの和Sの公式」（ 忘れちゃったかな？？ ）を思い出して、

　 S = 1 + 2 + 3 + 4 +　・・・・・・・　+ n = n ( n + 1 ) / 2

を使えば、n = 10　として、10 ( 10 + 1 ) / 2 = 55 が得られます。
これが三角数で、「n番目の三角数は、1からnまでの自然数の和に等しい」ということができるのです。

（２）矩形数
今度は矩形です。図2-1は、図1を直角三角形にして並べ直したものです。これを180度回転したものが図2-2、この両者をくっつけたものが図3です。矩形の形をしており、矩形数と呼ばれます。
この場合の玉の数は、図2-1の三角形を2倍にしたものですから20個ですが、図3で縦の玉が4個、横の玉が5個あることから合計が20であることが確認できます。

　　 　　　　

矩形数は三角数を2倍したものですが、図3から、矩形数は「 連続する2つの整数 （この場合4とそれに続く5） の積 」だということが“発見“できます。これを一般化して書けば、

　 「n番目の矩形数は　n ( n + 1 )　」

ということになります。例えば、5番目の矩形数は　5 ( 5 + 1 ) = 30 です。

更に面白いことに、下の表に示すように
「 n 番目の 矩形数 は、2から n 番目までの 偶数 の和に等しい」
ということができるのです。

　 n

　 偶数

　 矩形数

　 1

　  2

　   2 = 1 x 2  = 2

　 2

　  4

　   6 = 2 x 3  = 2 + 4

　 3

　  6

　 12 = 3 x 4  = 2 + 4 + 6

　 4

　  8

　 20 = 4 x 5  = 2 + 4 + 6 + 8

　 5

　 10

　 30 = 5 x 6  = 2 + 4 + 6 + 8 + 10

　　　　　　　・・・・・・・・

（３）四角数
図4をご覧ください。左下の1個の赤い玉に対し、 黄色の3個、次は緑の5個というように、順次、鍵型 （逆L型）に玉が積み重なって、次の大きな 正方形ができ上がっています。これは四角数と 呼ばれるものです。よく見ると、加わるのは全部 奇数となっています。
この図は4番目の四角数で、玉の合計は4個の奇数の和、
　1 + 3 + 5 + 7 = 16
です。これは別の見方をすれば、図から、1辺が4個の玉からなる正方形となっていますから、玉の総数は4 2 ＝16 であることが分かります。　
これを一般化すると、n番目までの奇数の和は

　 1 + 3 + 5 + 7 +……+ (2n‐1) = n 2   

と書くことができます。

（４）この辺で
　このような「図形数」は、五角数、六角数などに拡張でき、また立体的な四面体などにも適用できるそうですが、ややこしいのでこの辺でやめましょう。
　最後に上の図「パスカルの三角形」をご覧ください。どの数字も、その左上と右上の数を足した数になっているのです。自然数、三角数、四角数などが規則的に並んでいて、よく見ると面白い？？
　こんなもの何の役に立つのだとお叱りを受けそうですが、単なる知的好奇心。「数」は不思議としか言いようがありませんね。
　以上、少しは頭の活性化にお役にたてたら幸。いや、おかしくなったかな？？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以上

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